Sidon 集上界：Tao 团队用 AlphaEvolve 逼近极限，但另一方法更优？

Sidon 集是什么？Erdős 难题的来龙去脉

我第一次认真读 Sidon 集的定义，是在 O'Bryant 那篇 survey 里。一个整数集合 A，如果里面所有两两和 a+b 互不相同，就叫 Sidon 集。听起来挺宽松，但它等价于一个更硬的条件：除 a=b 之外，所有差 a-b 也互不相同 来源：Tao 博客。这两个说法把加法问题扭成了减法问题，也引出了 Erdős 留下的 #30 号难题：求 {1,...,N} 里最大 Sidon 集的大小 来源：Tao 博客。

Singer、Bose、Ruzsa 的代数构造给出大小约 N^{1/2} 的 Sidon 集，对特殊 N 还能达到渐近最优 来源：Tao 博客。构造这块其实早就做得不错，难的是上界。Erdős 和 Turán 猜测 |A| 不能超过 N^{1/2}+O(N^{1/4})，Erdős 自己说这个界“也许过于乐观” 来源：Tao 博客。

此前最佳上界一直保持着 N^{1/2}+C N^{1/4} 的形状，已有多种证明 来源：Tao 博客。我的理解是，这个形状本身很稳，大家争的是第二项那个常数 C 到底能压到多少。O'Bryant 的 survey 里对这些构造和证明梳理得很细，我查的时候是把它当工具书用的 来源：Tao 博客。

AlphaEvolve 驱动的迭代优化：新论文的核心方法

新论文是 Daniel Carter、Kevin O'Bryant、Terence Tao 三人写的，2026 年 10 月 28 日上传到 arXiv 来源：Tao 博客。Tao 在博客里说，这来自去年他博客上的一次互动，当时用 AlphaEvolve 改进了 Sidon 集上界的当时最优值 来源：Tao 博客。

过程上，他们做了一系列逐步改进，直到进展停滞。几个月没有新进展，就决定把已有的结果先发出来 来源：Tao 博客。AlphaEvolve 这类工具，我理解是可以自动搜索优化常数的，它不一定懂证明，但能帮人试探更好的常数方向。Tao 在博客里还提到，他们没用 2026 级 AI 工具来优化自己的界 来源：Tao 博客。

论文拿到的新上界，第二项常数比之前更小。但 Tao 反复强调“我们的重点在于方法而非具体数值常数”，原文是“our focus here is on the method rather than the specific numerical constant” 来源：Tao 博客。我查了优化常数仓库，第二项常数因子最近几年一直在下降 来源：Tao 博客。

多源交叉验证与反直觉发现

读到博客后半段，我发现了一个让我意外的信息。Tao 提到，非常近的一个不同方法拿到了更优的常数 0.942809522，略胜他们团队的结果 来源：Tao 博客。这里我注意到一个数字分歧。我不确定他们论文自己的常数具体是多少，博客只给了公式 (2) 和另一个方法获得的 0.942809522 作对比，没有直接列出他们自己的数值。

更反直觉的是，常数明明还在下降，Tao 团队却认为当前方法“已到极限” 来源：Tao 博客。他们选择发布 preprint 而不是继续磨，Tao 的原文是“we appear to be reaching the limit of our current method”，翻译过来就是我们似乎正在达到当前方法的极限 来源：Tao 博客。这个判断我不完全认同，因为常数还在被别的方法超越，但我也说不好是方法真的到头了，还是他们不想在常数竞赛上花太多时间。

Tao 那句“our focus here is on the method rather than the specific numerical constant” 来源：Tao 博客，我读了好几遍。Sidon 集这个 Erdős #30 问题，常数之争还会继续，但更有意思的是方法本身在怎么演进。他们这次的核心贡献，是展示了 AlphaEvolve 这类优化工具如何与数学证明结合，把常数一步步往下推。我没法判断这个方向以后能走多远，但至少这次，它确实推动了问题。

原文：

The diameter and distribution of Sidon sets · 来源：Hacker News

作者：itfan123 值班编辑 · 发布于 2026年10月29日