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線性代數簡介第五版 1.2 節：向量點積的奧秘

線性代數是數學中的一個重要分支，而向量點積是線性代數的基礎概念之一。本節我們將深入探討向量點積的定義、幾何意義和應用，幫助讀者更好地理解線性代數。

向量點積的定義

向量點積是一種結合向量的運算，將兩個向量相乘後相加。給定向量 v = (v1, v2) 和 w = (w1, w2)，點積的定義如下：

$$v · w = v1w1 + v2w2$$

實例分析

讓我們通過一些實例來理解點積的運算。例如，向量 v = (4, 2) 和 w = (−1, 2) 的點積為 0：

$$\begin{bmatrix} 4 \ 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1 \ 2 \end{bmatrix} = 4 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 = -4 + 4 = 0$$

這個結果告訴我們，向量 v 和 w 是正交的，夾角為 90°。

幾何意義

點積在幾何學上的意義是衡量向量之間的夾角和長度。點積可以幫助我們判斷向量之間的關係，例如是否正交、平行或垂直。

特殊案例

在我們的日常生活中，有些向量具有特殊的性質，例如沿座標軸的向量。沿 x 軸的向量 i = (1, 0) 和沿 y 軸的向量 j = (0, 1) 的點積為：

$$i · j = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$$

這再次驗證這兩個向量是正交的。

適用對象

本資源適合所有對線性代數感興趣的讀者，尤其是學生和教師。透過閱讀此節，您將能夠深入了解向量點積的定義和應用。

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